EJERCICIO DE LINEA DE ESPERA

LINEA DE ESPERA

LINEA DE ESPERA

Introducción

Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace

necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.

Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia

Modelo de Formación de Colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

OBJETIVOS

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
• Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Elementos Existentes En La Teoría De Colas

 Proceso Básico De Colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

 Fuente De Entrada O Población Potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.

NOMENCLATURA

S = número de servidores

n= número de clientes en el sistema

N =número máximo de clientes permitidos en el sistema

A,,t =flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema

u,7l =capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema.

E(t)= tiempo promedio de proceso por cliente

V(t)= variancia del tiempo de proceso

E(á) = tiempo promedio entre llegadas

V(a) = variancia del tiempo entre llegadas

CQ = coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema

CS`=  coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio

Cp = coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema PIJ probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y después de un intervalo de tiempo.

Pn=  probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema

L = número promedio de clientes en el sistema

Lq = número promedio de clientes en la fila

W = tiempo promedio de permanencia en el sistema

Wq= tiempo promedio de permanencia en la fila

p =utilización promedio del servicio

Ct = costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo.

Ce=  costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo

Cq = costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

 Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

• FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
• LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
• RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.
• Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso.

 Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores.

 Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

referencia: Tijms, H.C, "Algorithmic Analysis of Queues", Capítulo 9 en A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester, 2003.

FILA

Es el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de encontrar a partir 

de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados,mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y, por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien,mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera.

ECUACIONES GENERALES

Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes:

Utilización del Servicio

Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el servicio.

Modelo del Sistema de Cola  M/M/1

Supuestos

• La linea de espera tiene 1 sólo canal
• las llegadas tienen una distribución Poisson
• Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial

FORMULAS

• Factor de Utilización

• Probabilidad que no existan unidades en el sistema

Modelo del sistema de cola M/M/K

Supuestos

• La linea de espera tiene 2 o más canales
• las llegadas tienen una distribución Poisson
• Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial

  FORMULAS

λ= Tasa media de llegadas del sistema

µ= Tasa media de servicio de cada canal

K= Número de canales

• Probabilidad que no existan unidades en el sistema

• Numero promedio de unidades en cola

• Numero promedio de unidades en el sistema

Tiempo promedio que dura una unidad en cola

• Tiempo promedio que dura una unidad en el sistema

• Probabilidad que exista N unidades en el sistema cuando

• Probabilidad que existan N unidades en el sistema cuando

Numero promedio de unidades en el sistema

• Numero promedio de unidades en cola

Tiempo promedio que una unidad pasa en cola

Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema

Probabilidad que existan N unidades en el sistema

EJEMPLOS:
1.



2.

DERIVADAS DE MAXIMIZACION

MAXIMOS Y MINIMOS

3.2.1 Máximos y mínimos programación no lineal

Puntos minimax. 

El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana. 

 

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal se obtiene de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que: 

 Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+ 

Si gi (x) – bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) – bi] ≤ 0, luego 

 Max ëi ( gi (x) − bi ) = 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë ) = f (x) .R m+ Si gi (x) – bi > 0, entonces Sup ëi [gi(x) – bi] = ∞, por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mínimo de la Lagrangiana. 

 Por tanto, 

 Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D        R m+                                        X 

 Así pues, si (x0, ë0) es un punto minimax, x0  es una solución óptima del problema original. 

Pasamos ahora a dar los teoremas que relacionan los conceptos de punto de silla de L y punto minimax. Veremos que dicha relación es casi una equivalencia, en el sentido de que todo  punto  minimax  es  punto  de  silla,  y  todo  punto  de  silla  es  un  punto  minimax considerado sobre conjuntos mas restringidos. 

 

Como hemos expuesto anteriormente, para obtener el teorema recíproco es necesario restringir los conjuntos de definición del punto minimax. Previamente, hemos visto que la primera parte de la igualdad debe ser de la forma 

 

 Definimos, por tanto, 

N = {ë ∈ R m +  / ∃ Max ( f ( x ) − ët [g(x) − b ])},  N ⊂ R m + 

Entonces, la segunda parte de la igualdad se debe expresar como sigue: 

Min Max L (x, ë ) 

Por tanto, el punto minimax que buscamos ahora es de la forma: 

 

 

Para el problema de mínimo, el punto minimax toma la forma: 

  

tomando  además  la  función  lagrangiana  correspondiente  a  este  problema.  Con  esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación. 

4.1.- Dualidad en Programación Matemática. 

El concepto de dualidad nace estrechamente ligado al de punto minimax que se desarrolló en la sección anterior. Así, dado nuestro problema original, recordemos la definición de punto minimax: se trata de un par (x0, ë0) que verifica: 

 L (x0 , ë0 ) = Max Min L (x, ë ) = Min Max L (x, ë ) , 

donde 
L(x, ë) = f(x) – ët[g(x) 

que es, precisamente, el problema de partida, que llamaremos a partir de ahora Problema 

Primal (PP). 

Por  otro  lado,  el  segundo  término  de  la  igualdad  del  punto  minimax  se  puede expresar como: 
 

Min 

N 
 

õ (ë ), 
 

tomando  además  la  función  lagrangiana  correspondiente  a  este problema.  Con  esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación. 

  

TEORIA DE INVENTARIOS

4.1 ADMINISTRACION DE CONTROL 

Los sistemas de inventarios surgen de las diferencias entre el tiempo y la localización de la demanda y el abastecimiento. Un artículo debe contener tantas unidades como puedan demandarse, y nunca debería quedar fuera de existencia.

La cantidad se controla con el tiempo y la cantidad de cada orden. Así, lo más importante es:

Cuánto ordenar y cuándo ordenar.

La teoría matemática de inventarios utiliza diferentes modelos que se aplican con el fin de optimizar el costo de los inventarios que se manejan en las empresas. En dichos modelos se emplean los siguientes conceptos:

Inventarios: Son los materiales que una empresa mantiene en su almacén, con el fin de obtener uniformidad en la producción de los artículos que fabrica.

Tipos de Inventarios:

•  Inventarios de Materia Prima.
•  Inventarios de productos terminados.
•  Inventarios de producción en proceso.
•  Inventarios de componentes.
•  Inventarios de refacciones.

Costos de Ordenar: Son los que se generan cuando se ordena un determinado lote a los proveedores o al departamento de producción. Estos costos generalmente se deben a:

• Costos de papelería
• Costos de ajuste de maquinas.
• Costos de cambio de materiales.
• Otros.

Costos de Mantener: Estos costos se generan por los inventarios que se mantienen en el almacén. Generalmente están formados por:

• Costos de la mano de obra del almacén.
• Costos de la maquinaria de manejo de materiales en el almacén.
• Costo de energía y materiales del almacén.
•  Costo de renta y seguros del almacén
• Costo de los intereses por el capital invertido en inventarios.
• Costos de obsolescencia y deterioro.
• Otros.

Los costos de mantener y de ordenar se comportan de la siguiente forma:

• Para grandes valores de Q (lote de pedido), los costos de mantener son altos y los de ordenar son bajos (se pide menos veces por unidad de tiempo).
• Para valores pequeños de Q, los costos de mantener son bajos y los de pedir son altos (se pide mas veces por unidad de tiempo).

Sistema de administración.

Es un proceso el cual consiste en planear, dirigir, coordinar y controlar los recursos de una empresa para alcanzar una meta u objetivo. Esto se refiere a los temas analizados en el curso de administración de semestres anteriores.

Sistemas de control.

Son sistemas los cuales ayudan a fijar metas y evalúan la información de la empresa para señalar a los gerentes si las estrategias y estructuras de la organización están funcionando de manera eficaz y eficiente. Estos sistemas permiten alertar al gerente sobre algún problema o inconveniente para evitar fallas en la empresa.

VIDEO:

4.2 Modelos deterministicos.

En este tema hablaremos sobre Un modelo determinista que significa que es un modelo matemático donde las mismas entradas o condiciones iniciales producirán invariablemente las mismas salidas o resultados, no contemplándose la existencia de azar, o incertidumbre en el proceso modelada mediante dicho modelo.

Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la propagación de errores. Los modelos deterministas sólo pueden ser adecuados para sistemas deterministas no caóticos, para sistemas azarosos (no-determinista) y caóticos (determinista impredecible a largo plazo).

Por ejemplo, la planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinista en el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales asociados a cada proceso.

Un conjunto de ecuaciones diferenciales de un sistema físico macroscópico constituye un modelo determinista que puede predecir la evolución determinista en el tiempo de un buen número de magnitudes características del sistema.

Los modelos determinísticos son importantes por:

1. Una asombrosa variedad de importantes problemas de administración pueden formularse como modelos determinísticos.

2. Muchas hojas de cálculo electrónicas cuentan con la tecnología necesaria para optimizar modelos determinísticos, es decir, para encontrar decisiones óptimas. Cuando se trata en particular de modelos PL grandes, el procedimiento puede realizarse con mucha rapidez y fiabilidad.

3. El subproducto de las técnicas de análisis es una gran cantidad de información muy útil para la interpretación de los resultados por la gerencia.

4. La optimización restringida, en particular, es un recurso extremadamente útil para reflexionar acerca de situaciones concretas, aunque no piense usted construir un modelo y optimizarlo.

5. La práctica con modelos determinísticos le ayudará a desarrollar su habilidad para la formulación de modelos en general.

4.3 Modelos deterministicos sin déficit

Modelo de compra sin déficit

Para trabajar este modelo se supone una tasa de producción continua, lo cual permite hacer una reposición del inventario constante durante el tiempo de producción. En este modelo en particular, por ser de compra, se deduce que el artículo no será producido sino comprado o que se necesita un material auxiliar utilizado en la producción, pero este elemento es comprado.

Este modelo es también conocido como modelo de cantidad de pedido económico o lote económico (EOQ); es uno de los modelos de inventario más antiguo y conocido; está basado en hipótesis.

Está basado en las siguientes hipótesis:

• La demanda es constante y conocida.
• El plazo de entrega es constante y conocido.
• El pedido llega en un solo lote y todo de una vez.
• Los costos por ordenar un pedido y los costos de mantenimiento son constantes y conocidos.
• No son posibles los descuentos por cantidad.
• Se evitan las roturas de inventario.
• No se permite diferir demanda al futuro.

Con estas hipótesis de la utilización del inventario a través del tiempo, el gráfico tiene forma de dientes de sierra.

Para trabajar este modelo es necesario conocer algunas variables como:

Q = Cantidad óptima a comprar por pedido (EOQ).
D = Demanda por unidad de tiempo.
Co = Costo por ordenar el pedido.
Cm = Costo de mantener una unidad por año.
CTO = Costo total por ordenar un pedido.
CTM = Costo total de mantenimiento.
CT = Costo total del inventario.

La cantidad óptima de pedido ocurrirá en el punto en que el costo por ordenar un pedido y los costos de almacenamiento sean iguales.

Costo total por ordenar	= (Demanda anual / Cantidad optima) * Costo por ordenar CTO = (D / Q) * Co
Costo total de mantenimiento	= (Cantidad optima / 2) * Costo de mantenimiento CTM = (Q/2) * Cm

Luego se procede a la igualación:

CTO=CTM

(D/Q)*Co=(Q/2)*Cm

2(D*Co)=Q(Q*Cm)

2DCo=Q^2 CM

Q^2=2DCMo/cM

Q=√(2DCo/Cm)

Ejemplo

La empresa manufacturera Galey compra 8.000 chip cada año para utilizar en los equipos que produce. El costo unitario de cada chip es de $30.000 y el costo de mantener o almacenar un chip en inventario por año es de $3.000, además se sabe que realizar un pedido tiene un costo de $10.000. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?

Solución:

La información entregada por la Empresa Galey es la siguiente:

Demanda por unidad de tiempo     D = 8.000 uds/año

Costo por ordenar                          Co = $30.000 / pedido

Costo de mantenimiento                Cm = $3.000 /uds/año

Primero se debe observar que los datos a trabajar estén en la misma unidad de tiempo. Si la demanda es diaria se multiplica por el número de días que la empresa labora; cuando no se indican se asumen 20 días de producción al mes. Si la demanda es semanal se multiplica por el número de semanas a laborar en el año, normalmente está entre 50 y 52; si la demanda es semestral se multiplica por dos por cuanto el año tiene 2 semestres y así sucesivamente con otras demandas dadas en diferentes cronologías. Para el caso planteado de la empresa Galey, esta trabaja anualmente, lo que permite directamente aplicar la fórmula entregada por el modelo:

Q = √(2DCo/Cm)

Q = √ [(2(8.000)(30.000))/(3.000)]

Q =   400  uds/pedido

4.2.2 Modelos deterministicos con déficit

Modelo de producción con déficit 

Este modelo determina la cantidad a producir, cuando se permite déficit, faltantes o pedidos pedidos pendientes.  

Recordemos que déficit es la cantidad que falta  a los ingresos para que se equilibren con los gastos. 

Para su funcionalidad requiere lo siguiente: 

• Demanda conocida con tasa constante.
• Tasa de producción conocida con tasa constante.
• Tasa de producción mayor que tasa de demanda.
• Los costos deben ser conocidos y constantes. 
• Se permite diferir demanda al futuro. 

Los parámetros y variables que maneja este modelo son:

• T: tiempo total del periodo de planeación.
• R: demanda total del periodo.
• r: tasa de demanda por unidad de tiempo.
• K: tasa de producción por unidad de tiempo.
• Co: costo por ordenar una tanda de producción.
• S: nivel máximo de inventario o superávit.
• t1: tiempo de producción y demanda hasta generar el superávit.
• t2:  tiempo de demanda hasta consumir el superávit..
• Cm: costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo.
• D: déficit máximo.
• t3: tiempo de demanda hasta generar el déficit.
• t4: tiempo de producción y demanda hasta cubrir el déficit. 
• Te: tiempo total del ciclo.
• Cp: costo unitario de penalización por unidad de tiempo.
• Q: cantidad óptima a producir por ciclo.
• Cv: costo variable por unidad. 
• Ct: costo total promedio por unidad de tiempo.
• CT: costo total por unidad de tiempo.
• N: número de ciclos en el periodo.
• UMC: unidades mantenidas por ciclo. 
• Cme: costo de mantenimiento por ciclo.
• UPC: unidades penalizadas por ciclo.
• Cpe: costo de penalización por ciclo.

Este modelo supone que se inicia el inventario en cero unidades, que se coloca una orden de producción en ese instante y que dicha orden se completa en t1 unidades de tiempo; al final de éste se produce a razón de k unidades por unidad de tiempo y es consumido a razón de r unidades por unidad de tiempo. Existen en inventario S unidades (inventario máximo).

Cuando se llega al inventario máximo, la producción se suspende y durante un tiempo de t2 unidades solo se suple la demanda, por lo tanto al final de este tiempo se encuentra en el nivel cero del inventario.

A partir de aquí el cliente causa demanda, la cual no es satisfecha; esto sucede en t3 unidades de tiempo, al final se acumula una deuda de unidades con el cliente; déficit máximo. 

Para satisfacerla, se  coloca una nueva orden de producción con la cual se empieza a reducir el déficit y a cubrir la demanda de este tiempo t4, al final el tiempo se vuelve a repetir ya que la información es determinística y genera los ciclos. 

A continuación se muestran las fórmulas  del modelo: 

A continuación se presenta cómo se implementan dichas fórmulas por medio de un ejemplo:

4.3 Modelos deterministicos de producción

Modelos determinísticos de producción 

Los modelos determinísticos son aquellos donde se supone que los datos se conocen con certeza, es decir, se supone que cuando el modelo sea analizado se tiene disponible toda la información necesaria para la toma de decisiones

Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre.

Características 

La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico.

Estos tipos de modelos tienden a ser más populares en la literatura. Ejemplo: incluyen la mayoría de los modelos de RBC (Ciclo Real de Negocios), o nuevos modelos monetarios keynesianos.

En estos modelos, los choques golpean el día de hoy (con una sorpresa), pero después su valor esperado es cero. Se esperan choques futuros, o cambios permanentes en las variables exógenas que no pueden ser manejados por el uso de aproximaciones de Taulor en torno a un estado estacionario.

Hay que tener en cuenta que cuando estos modelos son linealizados al primer orden, los agentes se comportan como si los choques futuros fueran iguales a cero (ya que su expectativa es nula), que es la certeza de la propiedad de equivalencia. Se trata de una frecuencia en un punto alto en la literatura que induce a un error de los lectores en el supuesto de que sus modelos puedan ser determinísticos.

Ahora bien, dentro de los modelos podemos generar una subclasificación si consideramos además del supuesto de certeza, que la demanda puede ser estática, que es aquella donde esta permanece constante; y dinámica, donde a pesar de ser conocida, varía a través del tiempo.

Esto genera los siguientes modelos:

Inventarios con demanda determinística estática:

Consideramos que la demanda se conoce con certeza y es siempre la misma.

• Modelos de cantidad económica de pedido (EOQ – clásico): Conocido también como el modelo Harris – Wilson, el método EOQ busca un equilibrio entre los costos de preparación y los costos de almacenamiento. Fue un modelo pionero que sirvió de base para el desarrollo de otras variantes del modelo, como EOQ con descuentos por cantidad, EOQ con faltantes planeados, EOQ con varios artículos con limitación de almacenamiento, etc.

Gráfica

               

• EOQ con descuentos por cantidad: Considera la disminución del costo de compra de un artículo cuando se compra en gran cantidad.
• EOQ con faltantes planeados: Plantea que durante un tiempo la demanda no será satisfecha generando faltantes.
• Cantidad económica de pedido en producción (POQ): Considerando que el pedido se puede recibir a lo largo de un periodo de tiempo, este modelo tiene en cuenta que la tasa de demanda y la tasa de producción.

Inventarios con demanda determinística dinámica:

Tenemos un grado de conocimiento sobre la demanda pero esta varía a través del tiempo. Esto plantea un reto y es el tamaño del lote, pues en función de este los costos de inventario podrán ser mayores o menores. Para dar respuesta, se han generado métodos o sistemas de loteo, como son los siguientes:

• Lote por lote: Consiste en obtener justamente lo que necesito, lo que conlleva a tener el inventario exacto requerido y con él un bajo costo de mantenimiento.
• Período constante: Fija arbitrariamente los intervalos de pedido.
• Cantidad económica de pedido (EOQ): El EOQ también puede ser usado para determinar el tamaño de un lote, sin embargo autores Jay Heizer y Barry Render no recomiendan su uso cuando la demanda es relativamente constante y no dinámica.
• Balanceo de período fragmentado (BPF): Busca equilibrio entre los costos de mantener inventario y los costos de ordenar.
• Algoritmo de Silver – Meal (SM): Es heurístico, es decir que a través de reglas de decisión busca dar una buena (u optima) solución al problema de inventario. Se enfoca en la minimización del costo total (ordenar y mantener) por período.
• Costo unitario mínimo (CUM): Se enfoca en la minimización del costo unitario a través de la comparación de los costos de ordenar y mantener para diferentes tamaños de lote, en aras de elegir aquel que presente una menor diferencia.
• Algoritmo de Wagner – Whitin (WW): A través de programación dinámica, busca la minimización del costo de ordenar y el de mantener inventario.