MAXIMOS Y MINIMOS

3.2.1 Máximos y mínimos programación no lineal

Puntos minimax. 

El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana. 

 

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal se obtiene de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que: 

 Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+ 

Si gi (x) – bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) – bi] ≤ 0, luego 

 Max ëi ( gi (x) − bi ) = 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë ) = f (x) .R m+ Si gi (x) – bi > 0, entonces Sup ëi [gi(x) – bi] = ∞, por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mínimo de la Lagrangiana. 

 Por tanto, 

 Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D        R m+                                        X 

 Así pues, si (x0, ë0) es un punto minimax, x0  es una solución óptima del problema original. 

Pasamos ahora a dar los teoremas que relacionan los conceptos de punto de silla de L y punto minimax. Veremos que dicha relación es casi una equivalencia, en el sentido de que todo  punto  minimax  es  punto  de  silla,  y  todo  punto  de  silla  es  un  punto  minimax considerado sobre conjuntos mas restringidos. 

 

Como hemos expuesto anteriormente, para obtener el teorema recíproco es necesario restringir los conjuntos de definición del punto minimax. Previamente, hemos visto que la primera parte de la igualdad debe ser de la forma 

 

 Definimos, por tanto, 

N = {ë ∈ R m +  / ∃ Max ( f ( x ) − ët [g(x) − b ])},  N ⊂ R m + 

Entonces, la segunda parte de la igualdad se debe expresar como sigue: 

Min Max L (x, ë ) 

Por tanto, el punto minimax que buscamos ahora es de la forma: 

 

 

Para el problema de mínimo, el punto minimax toma la forma: 

  

tomando  además  la  función  lagrangiana  correspondiente  a  este  problema.  Con  esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación. 

4.1.- Dualidad en Programación Matemática. 

El concepto de dualidad nace estrechamente ligado al de punto minimax que se desarrolló en la sección anterior. Así, dado nuestro problema original, recordemos la definición de punto minimax: se trata de un par (x0, ë0) que verifica: 

 L (x0 , ë0 ) = Max Min L (x, ë ) = Min Max L (x, ë ) , 

donde 
L(x, ë) = f(x) – ët[g(x) 

que es, precisamente, el problema de partida, que llamaremos a partir de ahora Problema 

Primal (PP). 

Por  otro  lado,  el  segundo  término  de  la  igualdad  del  punto  minimax  se  puede expresar como: 
 

Min 

N 
 

õ (ë ), 
 

tomando  además  la  función  lagrangiana  correspondiente  a  este problema.  Con  esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación.