APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL

Aplicaciones de la Programación Lineal

Aplicaciones diversas de programación lineal. Conceptos fundamentales Programación lineal y método simplex: Una vez se tiene un concepto general de lo que es la programación lineal, es importante conocer la forma de actuación particular de los algoritmos que resuelven programas lineales. De entre todos los algoritmos destaca por su importancia histórica y práctica el método simplex. Dicho método fue desarrollado por Dantzig en 1947, alcanzando un éxito inusitado en las décadas posteriores con el desarrollo de los computadores. El conocimiento básico de dicho método ayuda a la comprensión de las diferentes formas de resolución de programas lineales. Dicho método puede ser estudiado en alguno de los manuales que se presentan a continuación: Hillier y Liebermann (2001) (Capítulos 4 y 5) o bien Winston (1994) (Capítulos 3 y 4). Por otra parte, el estudio de aplicaciones de la Programación Lineal es exhaustivo en los textos de Hillier, Hillier y Liebermann (2000); Eppen et al.(1998); o bien de Anderson, Sweeney y Williams (2001).

Clasificación de las aplicaciones de PL:

 La Programación Lineal presenta un gran número de aplicaciones en multitud de ámbitos empresariales, industriales, de gestión y en general, de toma de decisiones.

EJERCICIO:

Problema de Inversión: Considere que usted dispone de un capital de 21.000 dólares para invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 dólares en la Acción A y como mínimo 6.000 dólares en la Acción B. Además la inversión en la Acción A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a la Acción B. Usted quiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual.

Variables de Decisión: 
x = dólares invertidos en Acción A.
y = dólares invertidos en Acción B.

Función Objetivo: Se busca maximizar la rentabilidad anual que resulta de invertir en los 2 tipos de acciones.

Maximizar   0.1x  +  0.08y

Restricciones: Considera las recomendaciones de su amigo.

x  +   y   ≤  21.000	Se puede invertir como máximo 21.000 dólares en total
x             ≤  13.000	Invertir como máximo 13.000 dólares en Acción A
y   ≥   6.000	Invertir como mínimo 6.000 dólares en Acción B
x   -  2y   ≤  0	Inversión en A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B
x≥0, y≥0	No Negatividad

Solución Óptima: X = 13.000 Y = 8.000. Valor Óptimo V(P) = 1.940 dólares. Se recomienda verificar estos resultados a través de la resolución gráfica y/o utilizando Solver de Excel.

Problema de Proceso Productivo: Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio.

Variables de Decisión: 
X = Unidades a elaborar y vender del mueble A.
Y = Unidades a elaborar y vender del mueble B.
Z = Unidades a elaborar y vender del mueble C.

De esta forma el modelo de optimización que permite encontrar el plan óptimo de producción es el siguiente:

EJERCICIO 2

Problema de Mezcla de Productos: Se dispone de 2 ingredientes para fabricar caramelos, cuyo sabor variará dependiendo de la proporción en que intervengan cada uno de los ingredientes. El primer ingrediente se compra a $10 por kg. y el segundo a $20 por kg. El proceso de elaboración supone un costo de $5 por kg. fabricado, cuya cantidad total corresponde simplemente a la suma de los kg. empleados en la mezcla. La demanda máxima para un mes se cifra en 100 kg y el precio de venta $50 kg. A la empresa no le interesa producir más de los que puede vender en el mes. Por último, la composición de la masa debe contener una proporción que no supere el 50% del primer ingrediente y el 80% del segundo ingrediente. Se requiere determinar cuántos kg. de caramelos se tiene que fabricar al mes y las proporciones en las que deben ser utilizados los ingredientes para obtener un máximo beneficio.

Variables de Decisión:
X1: Kg a usar del ingrediente 1 en un mes
X2: Kg a usar del ingrediente 2 en un mes

Función Objetivo: Obtener la maxima utilidad de la venta de los caramelos descontando los costos de producción
Maximizar 50*(X1 + X2) – 10*X1 – 20*X2 - 5*(X1 + X2) = 35*X1 + 25*X2   

Restricciones: 
Demanda Máxima:     X1 + X2 <= 100
Composición:             X1/(X1 + X2) <= 50%    o     0,5*X1 – 0,5*X2 <= 0
Composición:             X2/(X1 + X2) <= 80%    o     -0,8*X1 + 0,2*X2 <= 0
No Negatividad:        X1,X2>=0

Sólución Óptima: X1 = 50 X2 = 50. Valor Óptimo V(P) = $3.000.