INVESTIGACION DE OPERACIONES: noviembre 2018

3.2.1 Máximos y mínimos programación no lineal

Puntos minimax.

El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana.

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal se obtiene de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que:

Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+

Si gi (x) – bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) – bi] ≤ 0, luego

Max ëi ( gi (x) − bi ) = 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë ) = f (x) .R m+ Si gi (x) – bi > 0, entonces Sup ëi [gi(x) – bi] = ∞, por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mínimo de la Lagrangiana.

Por tanto,

Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D R m+ X

Así pues, si (x0, ë0) es un punto minimax, x0 es una solución óptima del problema original.

Pasamos ahora a dar los teoremas que relacionan los conceptos de punto de silla de L y punto minimax. Veremos que dicha relación es casi una equivalencia, en el sentido de que todo punto minimax es punto de silla, y todo punto de silla es un punto minimax considerado sobre conjuntos mas restringidos.

Como hemos expuesto anteriormente, para obtener el teorema recíproco es necesario restringir los conjuntos de definición del punto minimax. Previamente, hemos visto que la primera parte de la igualdad debe ser de la forma

Definimos, por tanto,

N = {ë ∈ R m + / ∃ Max ( f ( x ) − ët [g(x) − b ])}, N ⊂ R m +

Entonces, la segunda parte de la igualdad se debe expresar como sigue:

Min Max L (x, ë )

Por tanto, el punto minimax que buscamos ahora es de la forma:

Para el problema de mínimo, el punto minimax toma la forma:

tomando además la función lagrangiana correspondiente a este problema. Con esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación.

4.1.- Dualidad en Programación Matemática.

El concepto de dualidad nace estrechamente ligado al de punto minimax que se desarrolló en la sección anterior. Así, dado nuestro problema original, recordemos la definición de punto minimax: se trata de un par (x0, ë0) que verifica:

L (x0 , ë0 ) = Max Min L (x, ë ) = Min Max L (x, ë ) ,

donde
L(x, ë) = f(x) – ët[g(x)

que es, precisamente, el problema de partida, que llamaremos a partir de ahora Problema

Primal (PP).

Por otro lado, el segundo término de la igualdad del punto minimax se puede expresar como:

Min

õ (ë ),

tomando además la función lagrangiana correspondiente a este problema. Con esta definición, los teoremas 16 y 17 serían válidos de forma análoga para esta formulación.

4.1 ADMINISTRACION DE CONTROL

Los sistemas de inventarios surgen de las diferencias entre el tiempo y la localización de la demanda y el abastecimiento. Un artículo debe contener tantas unidades como puedan demandarse, y nunca debería quedar fuera de existencia.

La cantidad se controla con el tiempo y la cantidad de cada orden. Así, lo más importante es:

Cuánto ordenar y cuándo ordenar.

La teoría matemática de inventarios utiliza diferentes modelos que se aplican con el fin de optimizar el costo de los inventarios que se manejan en las empresas. En dichos modelos se emplean los siguientes conceptos:

Inventarios: Son los materiales que una empresa mantiene en su almacén, con el fin de obtener uniformidad en la producción de los artículos que fabrica.

Tipos de Inventarios:

Inventarios de Materia Prima.
Inventarios de productos terminados.
Inventarios de producción en proceso.
Inventarios de componentes.
Inventarios de refacciones.

Costos de Ordenar: Son los que se generan cuando se ordena un determinado lote a los proveedores o al departamento de producción. Estos costos generalmente se deben a:

Costos de papelería
Costos de ajuste de maquinas.
Costos de cambio de materiales.
Otros.

Costos de Mantener: Estos costos se generan por los inventarios que se mantienen en el almacén. Generalmente están formados por:

Costos de la mano de obra del almacén.
Costos de la maquinaria de manejo de materiales en el almacén.
Costo de energía y materiales del almacén.
Costo de renta y seguros del almacén
Costo de los intereses por el capital invertido en inventarios.
Costos de obsolescencia y deterioro.
Otros.

Los costos de mantener y de ordenar se comportan de la siguiente forma:

Para grandes valores de Q (lote de pedido), los costos de mantener son altos y los de ordenar son bajos (se pide menos veces por unidad de tiempo).
Para valores pequeños de Q, los costos de mantener son bajos y los de pedir son altos (se pide mas veces por unidad de tiempo).

Sistema de administración.

Es un proceso el cual consiste en planear, dirigir, coordinar y controlar los recursos de una empresa para alcanzar una meta u objetivo. Esto se refiere a los temas analizados en el curso de administración de semestres anteriores.

Sistemas de control.

Son sistemas los cuales ayudan a fijar metas y evalúan la información de la empresa para señalar a los gerentes si las estrategias y estructuras de la organización están funcionando de manera eficaz y eficiente. Estos sistemas permiten alertar al gerente sobre algún problema o inconveniente para evitar fallas en la empresa.

VIDEO:

4.2 Modelos deterministicos.

En este tema hablaremos sobre Un modelo determinista que significa que es un modelo matemático donde las mismas entradas o condiciones iniciales producirán invariablemente las mismas salidas o resultados, no contemplándose la existencia de azar, o incertidumbre en el proceso modelada mediante dicho modelo.

Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la propagación de errores. Los modelos deterministas sólo pueden ser adecuados para sistemas deterministas no caóticos, para sistemas azarosos (no-determinista) y caóticos (determinista impredecible a largo plazo).

Por ejemplo, la planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinista en el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales asociados a cada proceso.

Un conjunto de ecuaciones diferenciales de un sistema físico macroscópico constituye un modelo determinista que puede predecir la evolución determinista en el tiempo de un buen número de magnitudes características del sistema.

Los modelos determinísticos son importantes por:

1. Una asombrosa variedad de importantes problemas de administración pueden formularse como modelos determinísticos.

2. Muchas hojas de cálculo electrónicas cuentan con la tecnología necesaria para optimizar modelos determinísticos, es decir, para encontrar decisiones óptimas. Cuando se trata en particular de modelos PL grandes, el procedimiento puede realizarse con mucha rapidez y fiabilidad.

3. El subproducto de las técnicas de análisis es una gran cantidad de información muy útil para la interpretación de los resultados por la gerencia.

4. La optimización restringida, en particular, es un recurso extremadamente útil para reflexionar acerca de situaciones concretas, aunque no piense usted construir un modelo y optimizarlo.

5. La práctica con modelos determinísticos le ayudará a desarrollar su habilidad para la formulación de modelos en general.

4.3 Modelos deterministicos sin déficit

Modelo de compra sin déficit

Para trabajar este modelo se supone una tasa de producción continua, lo cual permite hacer una reposición del inventario constante durante el tiempo de producción. En este modelo en particular, por ser de compra, se deduce que el artículo no será producido sino comprado o que se necesita un material auxiliar utilizado en la producción, pero este elemento es comprado.

Este modelo es también conocido como modelo de cantidad de pedido económico o lote económico (EOQ); es uno de los modelos de inventario más antiguo y conocido; está basado en hipótesis.

Está basado en las siguientes hipótesis:

La demanda es constante y conocida.
El plazo de entrega es constante y conocido.
El pedido llega en un solo lote y todo de una vez.
Los costos por ordenar un pedido y los costos de mantenimiento son constantes y conocidos.
No son posibles los descuentos por cantidad.
Se evitan las roturas de inventario.
No se permite diferir demanda al futuro.

Con estas hipótesis de la utilización del inventario a través del tiempo, el gráfico tiene forma de dientes de sierra.

Para trabajar este modelo es necesario conocer algunas variables como:

Q = Cantidad óptima a comprar por pedido (EOQ).
D = Demanda por unidad de tiempo.
Co = Costo por ordenar el pedido.
Cm = Costo de mantener una unidad por año.
CTO = Costo total por ordenar un pedido.
CTM = Costo total de mantenimiento.
CT = Costo total del inventario.

La cantidad óptima de pedido ocurrirá en el punto en que el costo por ordenar un pedido y los costos de almacenamiento sean iguales.

Costo total por ordenar	= (Demanda anual / Cantidad optima) * Costo por ordenar *CTO = (D / Q) Co**
Costo total de mantenimiento	= (Cantidad optima / 2) * Costo de mantenimiento *CTM = (Q/2) Cm**

Luego se procede a la igualación:

CTO=CTM

(D/Q)*Co=(Q/2)*Cm

2(D*Co)=Q(Q*Cm)

2DCo=Q^2 CM

Q^2=2DCMo/cM

Q=√(2DCo/Cm)

Ejemplo

La empresa manufacturera Galey compra 8.000 chip cada año para utilizar en los equipos que produce. El costo unitario de cada chip es de $30.000 y el costo de mantener o almacenar un chip en inventario por año es de $3.000, además se sabe que realizar un pedido tiene un costo de $10.000. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?

Solución:

La información entregada por la Empresa Galey es la siguiente:

Demanda por unidad de tiempo D = 8.000 uds/año

Costo por ordenar Co = $30.000 / pedido

Costo de mantenimiento Cm = $3.000 /uds/año

Primero se debe observar que los datos a trabajar estén en la misma unidad de tiempo. Si la demanda es diaria se multiplica por el número de días que la empresa labora; cuando no se indican se asumen 20 días de producción al mes. Si la demanda es semanal se multiplica por el número de semanas a laborar en el año, normalmente está entre 50 y 52; si la demanda es semestral se multiplica por dos por cuanto el año tiene 2 semestres y así sucesivamente con otras demandas dadas en diferentes cronologías. Para el caso planteado de la empresa Galey, esta trabaja anualmente, lo que permite directamente aplicar la fórmula entregada por el modelo:

Q = √(2DCo/Cm)

Q = √ [(2(8.000)(30.000))/(3.000)]

Q = 400 uds/pedido

4.2.2 Modelos deterministicos con déficit

Modelo de producción con déficit

Este modelo determina la cantidad a producir, cuando se permite déficit, faltantes o pedidos pedidos pendientes.

Recordemos que déficit es la cantidad que falta a los ingresos para que se equilibren con los gastos.

Para su funcionalidad requiere lo siguiente:

Demanda conocida con tasa constante.
Tasa de producción conocida con tasa constante.
Tasa de producción mayor que tasa de demanda.
Los costos deben ser conocidos y constantes.
Se permite diferir demanda al futuro.

Los parámetros y variables que maneja este modelo son:

T: tiempo total del periodo de planeación.
R: demanda total del periodo.
r: tasa de demanda por unidad de tiempo.
K: tasa de producción por unidad de tiempo.
Co: costo por ordenar una tanda de producción.
S: nivel máximo de inventario o superávit.
t1: tiempo de producción y demanda hasta generar el superávit.
t2: tiempo de demanda hasta consumir el superávit..
Cm: costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo.
D: déficit máximo.
t3: tiempo de demanda hasta generar el déficit.
t4: tiempo de producción y demanda hasta cubrir el déficit.
Te: tiempo total del ciclo.
Cp: costo unitario de penalización por unidad de tiempo.
Q: cantidad óptima a producir por ciclo.
Cv: costo variable por unidad.
Ct: costo total promedio por unidad de tiempo.
CT: costo total por unidad de tiempo.
N: número de ciclos en el periodo.
UMC: unidades mantenidas por ciclo.
Cme: costo de mantenimiento por ciclo.
UPC: unidades penalizadas por ciclo.
Cpe: costo de penalización por ciclo.

Este modelo supone que se inicia el inventario en cero unidades, que se coloca una orden de producción en ese instante y que dicha orden se completa en t1 unidades de tiempo; al final de éste se produce a razón de k unidades por unidad de tiempo y es consumido a razón de r unidades por unidad de tiempo. Existen en inventario S unidades (inventario máximo).

Cuando se llega al inventario máximo, la producción se suspende y durante un tiempo de t2 unidades solo se suple la demanda, por lo tanto al final de este tiempo se encuentra en el nivel cero del inventario.

A partir de aquí el cliente causa demanda, la cual no es satisfecha; esto sucede en t3 unidades de tiempo, al final se acumula una deuda de unidades con el cliente; déficit máximo.

Para satisfacerla, se coloca una nueva orden de producción con la cual se empieza a reducir el déficit y a cubrir la demanda de este tiempo t4, al final el tiempo se vuelve a repetir ya que la información es determinística y genera los ciclos.

A continuación se muestran las fórmulas del modelo:

A continuación se presenta cómo se implementan dichas fórmulas por medio de un ejemplo:

4.3 Modelos deterministicos de producción

Modelos determinísticos de producción

Los modelos determinísticos son aquellos donde se supone que los datos se conocen con certeza, es decir, se supone que cuando el modelo sea analizado se tiene disponible toda la información necesaria para la toma de decisiones

Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre.

Características

La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico.

Estos tipos de modelos tienden a ser más populares en la literatura. Ejemplo: incluyen la mayoría de los modelos de RBC (Ciclo Real de Negocios), o nuevos modelos monetarios keynesianos.

En estos modelos, los choques golpean el día de hoy (con una sorpresa), pero después su valor esperado es cero. Se esperan choques futuros, o cambios permanentes en las variables exógenas que no pueden ser manejados por el uso de aproximaciones de Taulor en torno a un estado estacionario.

Hay que tener en cuenta que cuando estos modelos son linealizados al primer orden, los agentes se comportan como si los choques futuros fueran iguales a cero (ya que su expectativa es nula), que es la certeza de la propiedad de equivalencia. Se trata de una frecuencia en un punto alto en la literatura que induce a un error de los lectores en el supuesto de que sus modelos puedan ser determinísticos.

Ahora bien, dentro de los modelos podemos generar una subclasificación si consideramos además del supuesto de certeza, que la demanda puede ser estática, que es aquella donde esta permanece constante; y dinámica, donde a pesar de ser conocida, varía a través del tiempo.

Esto genera los siguientes modelos:

Inventarios con demanda determinística estática:

Consideramos que la demanda se conoce con certeza y es siempre la misma.

Modelos de cantidad económica de pedido (EOQ – clásico): Conocido también como el modelo Harris – Wilson, el método EOQ busca un equilibrio entre los costos de preparación y los costos de almacenamiento. Fue un modelo pionero que sirvió de base para el desarrollo de otras variantes del modelo, como EOQ con descuentos por cantidad, EOQ con faltantes planeados, EOQ con varios artículos con limitación de almacenamiento, etc.

Gráfica

EOQ con descuentos por cantidad: Considera la disminución del costo de compra de un artículo cuando se compra en gran cantidad.
EOQ con faltantes planeados: Plantea que durante un tiempo la demanda no será satisfecha generando faltantes.
Cantidad económica de pedido en producción (POQ): Considerando que el pedido se puede recibir a lo largo de un periodo de tiempo, este modelo tiene en cuenta que la tasa de demanda y la tasa de producción.

Inventarios con demanda determinística dinámica:

Tenemos un grado de conocimiento sobre la demanda pero esta varía a través del tiempo. Esto plantea un reto y es el tamaño del lote, pues en función de este los costos de inventario podrán ser mayores o menores. Para dar respuesta, se han generado métodos o sistemas de loteo, como son los siguientes:

Lote por lote: Consiste en obtener justamente lo que necesito, lo que conlleva a tener el inventario exacto requerido y con él un bajo costo de mantenimiento.
Período constante: Fija arbitrariamente los intervalos de pedido.
Cantidad económica de pedido (EOQ): El EOQ también puede ser usado para determinar el tamaño de un lote, sin embargo autores Jay Heizer y Barry Render no recomiendan su uso cuando la demanda es relativamente constante y no dinámica.
Balanceo de período fragmentado (BPF): Busca equilibrio entre los costos de mantener inventario y los costos de ordenar.
Algoritmo de Silver – Meal (SM): Es heurístico, es decir que a través de reglas de decisión busca dar una buena (u optima) solución al problema de inventario. Se enfoca en la minimización del costo total (ordenar y mantener) por período.
Costo unitario mínimo (CUM): Se enfoca en la minimización del costo unitario a través de la comparación de los costos de ordenar y mantener para diferentes tamaños de lote, en aras de elegir aquel que presente una menor diferencia.
Algoritmo de Wagner – Whitin (WW): A través de programación dinámica, busca la minimización del costo de ordenar y el de mantener inventario.